Из семьи дворового крепостного человека помещицы Владыкиной. В 1834 г. отправлен в Москву для обучения ремеслу. Здесь, в доме Владыкиных, встречается с В.Г. Белинским, сыгравшим большую роль в его судьбе.
Первоначальное художественное образование получил в Московском художественном классе под руководством братьев Добровольских, Дурнова и Рабуса. Окончив Московский художественный класс (1836—1840), К. Горбунов по рекомендации Н.В. Гоголя едет в СПб и становится вольноприходящим воспитанником Академии художеств (1840—1846), где занимается под руководством К.П. Брюллова. Именно Брюллов совместно с В.А. Жуковским, В.Ф. Одоевским и М.Ф. Орловым (директором худ. класса) добились получения К.А. Горбуновым «вольной» в 1841 г. В апреле того же года поступает в Академию Художеств, занимается у К.П. Брюллова. В 1846 г. получил звание свободного (неклассного) художника. В 1851 г., в возрасте 29 лет, за портрет профессора А.Т. Маркова получил звание Академика портретной живописи.
Работал преимущественно как портретист. Создал портреты В.Г. Белинского, А.И. Герцена, Н.П. Огарева, Т.Н. Грановского, М.Ю. Лермонтова, Н.В. Гоголя, И.С. Тургенева, Н.В. Станкевича, М.С. Щепкина, А.В. Кольцова, В.П. Боткина, И.И. Панаева, В.Ф. Одоевского, П.В. Анненкова, М.А. Бакунина и многих других.
Преподавал живопись в Смольном институте, в Александровском училище и частных учебных заведениях. В эти годы написаны: «Цыганка», «Возвращение с полевых работ», портреты Петра I, Александра II, Александра III.
Принимал участие в росписи храма Христа Спасителя в Москве, Александровского собора в Вятке, церкви Знамения в Царском селе. Основные работы хранятся в Русском музее и Государственной Третьяковской галерее.
